ÁNGULOS

El manejo de ángulos se ha convertido en una herramienta importante para la vida de un estudiante, incluso, para los profesionistas que están dedicados al campo de la ingeniería y otras áreas afines. Con el propósito de ayudar al entendimiento de los procesos que implica el manejo de ángulos, deseo presentarles la siguiente información. Espero les sea de utilidad.

Concepto de ÁNGULO: Es la región del Plano comprendida entre dos semirrectas que coinciden o se interceptan en un punto llamado Vértice. 

Las semirrectas que forman el ángulo se denominan Lados del Ángulo

Por la dirección en que se midan, los Ángulos pueden ser:

• POSITIVOS: Si se miden en sentido contrario a las manecillas del reloj (también suele decirse Sentido Antihorario).
• NEGATIVOS: Si se miden en el sentido de la manecillas del reloj (sentido Horario).

En el Plano Cartesiano, los ángulos se miden a partir del Eje "X" positivo (eje de las Abscisas) y en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Existen distintos Sistemas de Medición de Ángulos, tales como los hay para medir otros tipos de unidades (kilogramos, millas, pulgadas, libras, etc.).  Sin embargo, los sistemas que abordaremos en este curso serán los siguientes:

1. Sistema Sexagesimal
2. Sistema Horario
3. Sistema Circular

 1. Sistema SEXAGESIMAL: En este sistema, una vuelta completa equivale a medir 360 grados (360°). Como en plano cartesiano divide al círculo en cuatro regiones iguales llamadas Cuadrantes, cada una corresponde a 1/4 de vuelta. Así podemos decir que, 3/4 de vuelta miden 270°, 1/2 vuelta corresponde a 180° y 1/4 de vuelta equivale a 90°.

Las fracciones de grados son los minutos, que se identifican con una Comilla ('); cada grado tiene 60minutos (60'); así, 1°=60' (se lee, un grado es igual a 60 minutos). De manera análoga, cada minuto tiene 60 segundos, que se representan con doble Comillas ("), así 1'=60" (se lee, un minuto es igual a 60 segundos).

Ejemplo: Supongamos que queremos escribir el ángulo 42° 30´15" como fracción de grado.

Para hacer esto tenemos que ver cuántos grados equivales 30' 15". Entonces, utilizando las equivalencias dadas anteriormente y una regla de tres simple, resulta que:

           Si 60" =  1'

entonces 15" = x          así tenemos que x = (15" * 1')/60" = 0.25'

Así encontramos que, 15"=0.25 en el sistema Sexagesimal. Nos falta representar ahora los 30.25' en grados Sexagesimales; para ello desarrollaremos un procedimiento similar:

       Si 60' = 1°
entonces 30.25' = x          así tenemos que x = (30.25' * 1°)/60' = 0.5042°

por lo tanto,  el ángulo de 42° 30'15" corresponde a 42.5042°

Nota: Es importante que, cuando estemos trabajando con estas unidades en la Calculadora, verifiquemos que esta esté configurada en la función DEGREE (DEG o D) que quiere decir, Grado en Inglés.

2. Sistema HORARIO: En este sistema, Una vuelta completa equivale a 24 horas (24h). Así tenemos que, 3/4 de vuelta son 18h; 1/2 vuelta equivale a 12h y 1/4 de vuelta representan 6h.

Las fracciones también corresponden a minutos y segundos, por lo que tenemos que 1h = 60min; 1min = 60s. Teniendo presente esto, podemos escribir un ángulo de dos formas equivalentes: 

• Como fracción de hora
• Representarlo en horas, minutos y segundos

 Ejemplo: Supongamos que queremos escribir el ángulo 42° 30' 15" como fracción de hora.

Utilizamos el mismo procedimiento que en el caso anterior y obtendremos:

        si 60" =1'

entonces 15" = x         por lo tanto x = (15" * 1')/60s = 0.25'

Ahora: si 60' = 1°

entonces 30.25' = x      Por deducción lógica entendemos que x = 0.5042°

Sumamos todo (42° + 0.5042°) lo que nos da = 42.5042°

Esto lo podemos interpretar de la siguiente manera: 

                     Si 360° = 1d

entonces 42.5042° = x      por lo que x = (42.5042° * 1d)/360° = 0.1180días

 

3. Sistema RADIAL: En este sistema Una vuelta completa equivale a 2rad (se lee "2 pi radianes").

Es de especial mención que en este sistema no se escribe la unidad, es decir, que un ángulo de 2radianes se expresa como 2 solamente. Los radianes se escriben como un número real, las fracciones de radianes no tienen una notación particular.

 

 

GEOMETRÍA: Clasificación y Concepto Básicos

CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA

Primero que nada, jóvenes, quiero exponerles que la Geometría se Clasifica para su estudio en:

• GEOMETRÍA PLANA
• GEOMETRÍA DEL ESPACIO

La Geometría Plana estudia las figuras planas, que tienen únicamente dos dimensiones: largo y ancho. Esto lo podemos entender fácilmente pues muchas veces nos hemos referido, por ejemplo, a las medidas de un solar: ¿Cuánto mide su ancho o cuánto tiene de largo?... sólo eso preguntamos, a parte del precio o la ubicación, ¿verdad? 
 

Superficie de un terreno

Por eso la Geometría Plana es la más sencilla de comprender y por eso iniciaremos nuestro estudio es esta primera clase.

La Geometría del Espacio estudia las propiedades de los cuerpos geométricos provistos de largo, ancho y altura o profundidad).

Cubo Tridimensional

 

Concepto de GEOMETRÍA:

La palabra GeoMetría proviene de los vocablos griegos geō (tierra) y metrein (medir).

Lo que da a entender su significado: "Medida de la Tierra". Sin embargo, no quiere decir que tengamos que medir la tierra en sí, sino las formas de las figuras que contiene y sus alrededores, con un poco de imaginación.

Así que, la geometría es la parte de las matemáticas que trata de las propiedades y medida del espacio o del plano; tales como: puntos, planos, polígonos, rectas, poliedros, curvas, superficies, entre otros. Fundamentalmente se ocupa de resolver problemas métricos, tales  como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos o volumétricos*.
*El cuerpo volumétrico es un cuerpo real considerado tan solo desde el punto de vista de su extensión espacial. La idea de figura es aún más general, pues se abstrae también de su extensión espacial. 

Así, el espacio está formado por tres dimensiones, un área o superficie tiene dos, una recta solo una y un punto carece de dimensiones.

La geometría se ocupa de la forma de un cuerpo, independientemente de las demás propiedades del mismo. Por ejemplo, el volumen de una esfera es 4/3 πr3, aunque dicha esfera sea de cristal, de hierro o una gota de agua.

_________________________ O ___________________________

 ⏳ TERMINOLOGÍA ELEMENTAL DE MATEMÁTICAS

Axioma: proposición tan sencilla y evidente que se admite sin demostración.

Postulado: proposición no tan evidente como un axioma pero que también se admite sin demostración.

Teorema: proposición que puede ser demostrada (Hipótesis + Tesis).

Lema: proposición que sirve de base a la demostración de un teorema.

 

 _________________________ O ___________________________

ELEMENTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA

 Ahora nos centraremos en definir los elementos Geométricos básicos que estudia la Geometría:

• El PUNTO (.) Es el objeto fundamental en Geometría; representa solo posición y no tiene dimensión (adimensional), es decir, largo=cero, ancho=cero y altura=cero. Generalmente se representan por letras mayúsculas (A, B, P, Q, etc.)

  

  Tres Puntos

 La palabra Punto está asociada a una amplia gama de temas, por lo que su concepto resulta versátil a la hora de usarlo; de echo, se puede definir como la huella que deja la punta de un lápiz sobre el papel.

Por muy simple que sea su definición, puede contener información relevante en torno a la ubicación y coordenadas que posea, las cuales son útiles para complementar o resolver un problema geométrico o de diseño.

• LA LÍNEA: Es un conjunto finito o infinito de puntos sucesivos.

 

Línea

• LÍNEA RECTA: Es el elemento Geométrico que posee solo longitud, no tiene ancho ni altura ni grosor. Es un conjunto infinito de puntos que se extienden en una dimensión en ambas direcciones.

 "Una recta se puede decir que es la distancia más corta entre dos puntos"

Línea Recta

• SEMIRRECTA: la definimos como la porción de una recta que tiene principio, pero no tiene fin. 

• SEGMENTO DE RECTA: es una porción de la recta con principio y con fin, es decir sabemos dónde empieza y donde termina, por ende, lo podemos medir. 

• EL PLANO: Es un conjunto parcial de infinitos puntos. Se representa por un
  paralelogramo y se nombra por tres (3) de sus puntos no alineados o por una letra
  griega. (ABC o β)
  
  
  
  
  
   
• POLIGONAL: También se llaman así a las líneas quebradas. Sus segmentos reciben el nombre de lados y los puntos comunes de los lados se llaman vértices.
  
  
  
  
  
   
•  POLÍGONO: es una figura plana cerrada que está formada por tres o más segmentos de recta que se unen en sus puntos extremos. Los segmentos de recta que forman un polígono solo se intersectan en sus puntos extremos.
  
  
  Los polígonos se nombran de acuerdo al número de lados que están formados:
  ·         Triángulo: polígono de 3 lados
  ·         Cuádrilatero: polígono de 4 lados
  ·         Pentagono: polígono de 5 lados
  ·         Hexágono: polígono de 6 lados
  ·         Heptágono: polígono de 7 lados
  ·         Octágono: polígono de 8 lados
  ·         Nonágono: polígono de 9 lados
  ·         Decágono: polígono de 10 lados
  ·         Dodecágono: polígono de 12 lados
  ·         n - ágono: polígono de n lados
  
  
  
  
• ÁNGULO: es la abertura formada por dos semirrectas (lados) con un mismo origen (llamado vértice). Más adelante abundaremos en este tema fundamental de la Geometría. 

• BISECTRIZ de un Ángulo: es la semirrecta que tiene como origen el vértice y divide al ángulo en dos partes iguales. Más adelante abundaremos en este tema fundamental de la Geometría...
  
  
  
  
  Estos son los conceptos básicos a dominar en este Primer Parcial. Es importante repasarlos y practicarlos en su vida como estudiantes; recuerden el Lema..."La Repetición es la Madre de la Enseñanza" .
  
  
  ESPERO LES HAYA SERVIDO DE AUTOPARENDIZAJE
  
  
  ...SALUDOS JÓVENES... 
  Atentamente: Su Profesor de Matemáticas